在数学领域中，向量是一个重要的概念，而正交则是向量之间的一种特殊关系。所谓正交向量，是指两个或多个向量之间的夹角为90度（即直角），并且它们的点积（内积）等于零。这一性质使得正交向量在几何学、物理学以及工程学等领域有着广泛的应用。

要理解正交向量的定义，首先需要回顾一下向量的基本概念。一个向量可以用箭头表示，它既有大小又有方向。在二维空间中，向量可以表示为(x, y)的形式；而在三维空间中，则是(x, y, z)的形式。向量的点积是一种代数运算，其结果是一个标量值。对于两个向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)和B = (b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的点积公式为：

\[ A \cdot B = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ \]

当两个向量的点积等于零时，这两个向量就是正交的。例如，在二维平面上，如果向量A = (3, 4)和向量B = (-4, 3)，则它们的点积计算如下：

\[ A \cdot B = 3(-4) + 43 = -12 + 12 = 0 \]

因此，向量A和向量B是正交的。

正交向量的概念不仅限于二维或三维空间。在高维空间中，只要满足上述点积为零的条件，就可以确定向量之间的正交关系。这种抽象化的定义使得正交理论能够应用于更广泛的数学模型之中。

此外，正交向量还与线性无关性密切相关。一组向量如果彼此正交且非零，则它们一定是线性无关的。这意味着这些向量无法通过线性组合来相互表示，从而构成了一个基底，用于描述整个向量空间。

总之，正交向量的定义基于点积为零这一简单但强大的特性，它揭示了向量间的一种深刻几何关系，并成为许多高级数学工具的基础。掌握这一概念有助于我们更好地理解和解决实际问题中的复杂情况。