【导函数相除公式高中】在高中数学中，导数是一个重要的知识点，尤其是在学习函数的性质和图像变化时。导数的运算法则包括加法、减法、乘法以及除法法则。其中，导函数相除的公式是求两个函数相除后的导数的重要工具。
本文将对“导函数相除公式”进行总结，并以表格形式展示其基本内容与应用方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、导函数相除公式的定义
若函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都可导，且 $ g(x) \neq 0 $，则它们的商 $ \frac{f(x)}{g(x)} $ 的导数为：
$$
\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
$$
这个公式也被称为“商法则”。
二、导函数相除公式的使用步骤
1. 确定分子和分母函数：识别 $ f(x) $ 和 $ g(x) $。
2. 分别求出两者的导数：计算 $ f'(x) $ 和 $ g'(x) $。
3. 代入公式计算：将导数代入商法则公式中。
4. 化简表达式（如需要）：根据题目要求对结果进行简化。
三、常见例子解析
| 函数 | 导数 | 使用商法则 |
| $ \frac{x}{x+1} $ | $ \frac{(1)(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} $ | 是 |
| $ \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} $ | 是 |
| $ \frac{e^x}{x^2} $ | $ \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x (x^2 - 2x)}{x^4} $ | 是 |
四、注意事项
- 商法则适用于所有可以表示为两个函数相除的形式。
- 分母不能为零，否则导数不存在。
- 在实际计算中，应先检查是否可以直接约分或简化，再使用商法则。
- 若函数复杂，建议先求导后代入，避免计算错误。
五、总结表
| 内容 | 说明 |
| 公式名称 | 商法则（导函数相除公式） |
| 公式表达 | $ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 适用条件 | $ g(x) \neq 0 $，且 $ f(x) $、$ g(x) $ 均可导 |
| 使用步骤 | 1. 确定分子与分母；2. 求导；3. 代入公式；4. 化简 |
| 常见例子 | $ \frac{x}{x+1}, \frac{\sin x}{\cos x}, \frac{e^x}{x^2} $ |
| 注意事项 | 分母不为零，优先化简，避免复杂计算 |
通过以上总结和表格，我们可以清晰地看到导函数相除公式的结构与应用方式。掌握这一公式有助于提高解题效率，也为后续学习更复杂的导数运算打下坚实基础。
