【点到面的距离公式】在三维几何中，点到平面的距离是一个常见的计算问题，广泛应用于数学、物理和工程等领域。掌握点到平面距离的计算方法，有助于我们更准确地分析空间中的几何关系。

以下是对“点到面的距离公式”的总结与整理：

一、点到平面的距离公式

设平面上的一般方程为：

$$ Ax + By + Cz + D = 0 $$

其中，$ A $、$ B $、$ C $ 是平面的法向量分量，$ D $ 是常数项。

若有一点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，则该点到上述平面的距离 $ d $ 可由以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

二、公式说明

- 分子部分：表示点代入平面方程后的绝对值，反映了点与平面之间的线性距离。

- 分母部分：是法向量的模长，用于将结果归一化为实际距离。

- 公式适用于任意位置的点和平面，只要平面方程已知。

三、常见应用场景

四、示例计算

已知平面方程：$ 2x - 3y + 6z - 5 = 0 $

点坐标：$ P(1, 2, 3) $

代入公式计算：

$$

d = \frac{2(1) - 3(2) + 6(3) - 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 5}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{9}{\sqrt{49}} = \frac{9}{7}

$$

因此，点 $ P $ 到该平面的距离为 $ \frac{9}{7} $。

五、注意事项

- 平面方程必须是标准形式（即 $ Ax + By + Cz + D = 0 $）。

- 若平面方程未标准化，需先将其转换为标准形式再代入公式。

- 若法向量的模为零，则说明平面不存在或方程不合法。

表格总结

通过理解并掌握点到面的距离公式，可以更高效地解决三维空间中的相关问题，提升对几何知识的实际应用能力。