【各种分布的方差与期望】在概率论和统计学中，了解不同随机变量分布的期望（均值）和方差是非常重要的。这些参数可以帮助我们更好地理解数据的集中趋势和离散程度。以下是一些常见概率分布的期望与方差总结。
一、离散型分布
| 分布名称 | 概率质量函数 (PMF) | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ Poisson(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 $ Geom(p) $ | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
| 超几何分布 $ H(N, K, n) $ | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ \frac{nK}{N} $ | $ \frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)} $ |
| 伯努利分布 $ Bernoulli(p) $ | $ P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1-p $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
二、连续型分布
| 分布名称 | 概率密度函数 (PDF) | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 伽马分布 $ Gamma(\alpha, \beta) $ | $ f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} $ | $ \frac{\alpha}{\beta} $ | $ \frac{\alpha}{\beta^2} $ |
| 三角分布 $ Tri(a, b, c) $ | $ f(x) = \begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}, & a \leq x < c \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}, & c \leq x \leq b \end{cases} $ | $ \frac{a + b + c}{3} $ | $ \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc}{18} $ |
三、总结
以上表格列出了常见的离散型与连续型概率分布的期望与方差。这些数值是统计分析、风险评估、预测模型等领域的基础工具。在实际应用中，根据数据的特点选择合适的分布模型，并计算其期望和方差，有助于更准确地描述数据特征和进行后续推断。
掌握这些分布的基本性质，能够帮助我们在面对复杂数据时做出更合理的判断与决策。
