【方阵的行列式怎么算】在数学中，行列式是一个与方阵（即行数和列数相等的矩阵）相关的重要概念，常用于判断矩阵是否可逆、计算面积或体积、解线性方程组等。本文将简要介绍行列式的定义，并通过表格形式总结不同阶数方阵的行列式计算方法。

一、行列式的定义

对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A $，其行列式是一个标量值，记作 $ \det(A) $ 或 $ A $。行列式的值可以反映矩阵的某些性质，例如：

- 若 $ \det(A) = 0 $，则矩阵不可逆；

- 若 $ \det(A) \neq 0 $，则矩阵可逆。

二、行列式的计算方法

以下为不同阶数的方阵行列式计算方式的总结：

三、具体计算示例

1. 1×1 矩阵

$$

\begin{vmatrix} 5 \end{vmatrix} = 5

$$

2. 2×2 矩阵

$$

\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2

$$

3. 3×3 矩阵（按第一行展开）

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{vmatrix}

= 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}

- 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}

+ 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}

$$

分别计算小行列式：

- $ \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 $

- $ \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 4 \cdot 9 - 6 \cdot 7 = 36 - 42 = -6 $

- $ \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 32 - 35 = -3 $

代入原式：

$$

1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0

$$

四、注意事项

- 计算高阶行列式时，建议使用行变换简化矩阵，使其变为上三角或下三角矩阵，此时行列式等于主对角线元素的乘积。

- 行列式具有线性性质，可通过行变换进行化简，但要注意行交换会改变符号，倍乘行会影响结果。

五、总结

行列式的计算是线性代数中的基础内容，掌握不同阶数的计算方法有助于更深入地理解矩阵的性质和应用。对于初学者而言，从低阶开始逐步练习，再过渡到高阶，是学习行列式的有效途径。